1) (x²-5x-24)√x-6>0
Для начала, найдем значения x, при которых выражение под корнем равно нулю: x²-5x-24=0 (x-8)(x+3)=0 x=8 или x=-3
Теперь разобьем интервалы числовой прямой на три части: (-∞, -3), (-3, 8), (8, +∞).
Возьмем произвольное значение из каждого интервала и проверим его в исходном неравенстве:
Для интервала (-∞, -3): Пусть x=-4: ((-4)²-5(-4)-24)√(-4)-6 = (16+20-24)√(-4)-6 = 12√(-4)-6 Так как корень из отрицательного числа не определен, то это значение не подходит.
Для интервала (-3, 8): Пусть x=0: ((0)²-5(0)-24)√(0)-6 = (-24)√(0)-6 Так как корень из нуля равен нулю, то это значение подходит.
Для интервала (8, +∞): Пусть x=9: ((9)²-5(9)-24)√(9)-6 = (81-45-24)√(9)-6 = 12√(9)-6 Так как корень из 9 равен 3, то это значение подходит.
Таким образом, решением неравенства является интервал (-3, 8) включительно.
2) √x²-4-12≤√x²-4
Для начала, упростим неравенство: √x²-4-12≤√x²-4 √x²-4-√x²-4≤12 -√x²-4≤12
Возведем обе части неравенства в квадрат: (-√x²-4)²≤12² x²-4≤144 x²≤148
Извлекаем корень из обеих частей: |x|≤√148
Таким образом, решением неравенства является интервал [-√148, √148].
3) √x+2<x-4
Для начала, упростим неравенство: √x+2<x-4
Возведем обе части неравенства в квадрат: (√x+2)²<(x-4)² x+4√x+4<x²-8x+16
Перенесем все члены в одну сторону: x²-9x+12-4√x>0
Разложим на множители: (x-3)(x-4)-4√x>0
Рассмотрим два случая:
1) x-3>0 и x-4-4√x>0 x>3 и x-4>4√x
2) x-3<0 и x-4+4√x>0 x<3 и x-4<-4√x
Решим каждое из этих неравенств отдельно:
1) x>3 и x-4>4√x x>3 и (x-4)²>16x² x>3 и x²-8x+16>16x² 15x²+8x-16<0
Решаем квадратное неравенство: 15x²+8x-16<0 (x-1)(15x+16)<0
Таким образом, решением этого неравенства является интервал (-∞, -16/15) объединенный с интервалом (1, +∞).
2) x<3 и x-4<-4√x x<3 и (x-4)²<16x² x<3 и x²-8x+16<16x² -15x²+8x-16<0
Решаем квадратное неравенство: -15x²+8x-16<0 (x-1)(-15x+16)<0
Таким образом, решением этого неравенства является интервал (-∞, 1) объединенный с интервалом (16/15, +∞).
Таким образом, решением исходного неравенства является объединение интервалов (-∞, -16/15), (1, 3) и (16/15, +∞).
